Vilém Vlček začal hrát na violoncello v šesti letech. V roce 2010 se stal žákem Gymnázia a Hudební školy hlavního města Prahy ve třídě Martina a Mirko Škampových a od roku 2018 studuje na Musik-Akademie Basel ve třídě Danjula Ishizaky.
Jako sólista vystupoval s řadou orchestrů (např. Česká filharmonie, Symfonický orchestr hl. m. Prahy FOK, Basilejský komorní orchestr, Würtenberská filharmonie, Kaunaská filharmonie) pod vedením uznávaných dirigentů (Jiří Bělohlávek, Petr Atrichter, Jiří Rožeň, Wolfgang Emanuel Schmidt, Nicolas Ellis aj.). Sólově se představil publiku ve třech desítkách států Evropy a Asie, Afriky a Ameriky, a to ve významných koncertních sálech, jako jsou například Velký sál Labské filharmonie, Komorní sál Berlínské filharmonie, Victoria Hall v Singapuru, Dvořákova síň Rudolfina ad.
Pravidelně se zúčastňuje mistrovských kurzů doma i v zahraničí (Steven Isserlis, Frans Helmerson, Yo-Yo Ma, Alisa Weilerstein) a jako komorní hráč získal cenné impulzy od řady významných hráčů (Rainer Schmidt, Guy Braunstein, Sergio Azzolini, Claudio Martinez Mehner).